% Зоров Дмитрий, mk1989 08, 15-18
\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage{russ}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[left=1cm,right=1cm,top=2cm,bottom=2cm]{geometry}
\usepackage{amssymb,amsmath,inputenc, babel, amsthm, epsf, graphicx}
\usepackage{multicol}
\textwidth=16cm
\oddsidemargin=1pt
\begin{document}

Конструктивный подход, позволяющий разрешить эти вопросы для произвольных дифференциальных уравнений, основывается на теореме 1.4 и дифференциально-алгебраической трактовке дифференциальных уравнений как поверхностей в продолженном (на производные от u по t,х) пространстве. Прежде чем переходить к описанию общей конструкции, поясним суть подхода на примере преобразований (\ref{(2.2)}), предложив читателю сначала выполнить следующее подготовительное


\par\medskip $\bigcirc$ {\bf Упражнение 2.3.} Покажите, что формулы \ref{(2.2)}, (\ref{(2.3}) задают однопараметрическую группу преобразований в шестимерном пространстве переменных $z=(t,\ x,\ u,\ u_t,\ u_x,\ u_{xx})$и найдите ее инфинитезимальный оператор.$\bigcirc$

\par\medskip Теперь обратимся к \S~1.4, взяв $N = 6$ , а в качестве элементов пространства ${\bf R}^6$ указанные в упражнении 2.3 векторы $z$ с компонентами $t, \ \dots,\ u_{xx}$. Уравнение теплопроводности (\ref{2.1}) имеет вид
(\ref{1.25}) с $s=1$ и определяет 5-мерную поверхность $M \subset {\bf R}^6$относительно продолженных преобразований
(\ref{2.2}) , (\ref{2.3}). Но так как последние образуют группу, то справедлив инфинитезимальный критерий инвариантности, сформулированный в теореме 1.4 в виде равенств (\ref{1.26}). Выпишем эти равенства в данном случае. По формуле (\ref{1.6}) легко находим, что оператор группы преобразований (\ref{2.2}) равен
\begin{equation}\label{1}
X=2t\frac{\partial}{\partial x}-xu\frac{\partial}{\partial u}
\end{equation}
а оператор группы продолженных преобразований (\ref{2.2}), (\ref{2.3}) равен
\begin{equation}\label{2}
\underset{2}{X} = X - (xu_t + 2u_x)\frac{\partial}{\partial u_t} - (xu_t + u)\frac{\partial}{\partial u_x} - (xu_{xx} + 2u_x)\frac{\partial}{\partial u_{xx}} \qquad
\end{equation}
здесь $X$ дается формулой (\ref{1}), а значок «2» указывает, что оператор (\ref{2}) получен продолжением действия оператора $X$ на производные до второго порядка включительно (действие на $u_{tt}$ и $u_{tx}$ не указано, так как эти величины в основных формулах (\ref{2.1}), (\ref{2.2}), (\ref{2.3}) отсутствуют). Оператор $X$ действует на функции от величин $t, x, u, u_t, u_x, u_{xx}$, рассматриваемых как независимые переменные. Поэтому имеем

\begin{multline}\label{3}
\underset{2}{X}(u_t - u_{xx}) = - (xu_t+2u_x)\frac{\partial}{\partial u_t}(u_t - u_{xx})- \\ - (xu_{xx} + 2u_x)\frac{\partial}{\partial u_{xx}}(u_t-u_{xx})= -(xu_t+2u_x)+(xu_{xx}+2u_x)+\\ +(xu{xx}+2u_x)=x(u_{xx}-u_t).
\end{multline}
Отсюда следует выполнение равенства
\begin{equation}\label{4}
\underset{2}{X}(u_t-u_{xx})\Bigm|_{(2.1)}=0
\end{equation}
представляющего собой инфинитезимальный критерий инвариантности
(\ref{1.26}) . Эта схема, проведенная в обратном порядке (от уравнения(\ref{2.8}) к оператору (\ref{2.6})), позволяет найти все допускаемые группы.

\par\medskip {\bf 2.2 Обозначения.} В дальнейшем компоненты вектора $z$ будут выбираться из следующих различных наборов переменных:
\par\medskip
\begin{center}
$x=\{{x^{i}\},\ u=\{u^{\alpha}\},\ \underset{1}{u}=\{u^{\alpha}_i\},\ \underset{2}{u}=\{u^{\alpha}_{ij}\},\ \dots $
\end{center}где индекс i пробегает значения от $1$ до $n$, а $\alpha\ - $ от $1$ до $m$. Эти переменные считаются алгебраически независимыми, но связанными дифференциальными соотношениями
\begin{equation}\label{5}
u^{\alpha}_i=D_i(u^{\alpha}),\ u^{\alpha}_{ij}=D_i(u^{\alpha}_i)=D_jD_i(u^{\alpha}),\ \dots
\end{equation}с помощью дифференцирований
\begin{equation}\label{6}
D_i=\frac{\partial}{\partial x^i}+u^{\alpha}_i\frac{\partial}{\partial u^{\alpha}}+u^{\alpha}_{ij}\frac{\partial}{\partial u^{\alpha}_j}+\ \dots
\end{equation}
\par\medskip Из этих формул ясно, что должны выполняться условия симметричности $u^{\alpha}_{ij}=u^{\alpha}_{ji}$ и т.д.
\columnsep=24pt
\begin{multicols}{2}
Дифференцирования $D_i$ «обрываются» при действии ими на функции от конечного набора переменных $x,\ и,\ \underset{1}{u},\ \dots$
и, следовательно, корректно определены на множестве всех гладких функций от любого конечного набора указанных переменных. Будем считать эти функции аналитическими.
\end{multicols}
Величины $x_i$ называются {\it независимыми переменными}, $u^{\alpha}$ — {\it дифференциальными переменными}, a $u^{\alpha}_i,\ u^{\alpha}_{i_1},\ \dots$ — первыми, вторыми и т. д. {it\ производными} этих дифференциальных переменных. Всякая аналитическая функция конечного набора переменных $x,\ u,\ \underset{1}{u},\ \dots$
называется {\it дифференциальной функцией}. Максимальный порядок $р$ производной, входящей в дифференциальную функцию $f=f(x,\ u,\ \underset{1}{u},\ \dots,\ \underset{p}{u})$, называется {\it порядком} этой функции. Множество всех дифференциальных функций будет обозначаться $\Lambda$.
Пусть $F\in \Lambda $\ — дифференциальная функция порядка $р$. Уравнение
\begin{equation}\label{7}
F(x,\ u,\ \underset{1}{u},\ \dots,\ \underset{p}{u})=0
\end{equation}
задает некоторую поверхность в пространстве переменных $x,\ u,\ \dots,\ \underset{p}{u}$. Например, левая часть уравнения теплопроводности является дифференциальной функцией порядка 2, а само уравнение \ref{2.1} задает, как уже отмечалось, гиперплоскость. Будем рассматривать уравнение (\ref{7}) вместе со всеми его дифференциальными следствиями
%2.12
\begin{equation}\label{8}
D_iF=0,\ D_iD_jF=0,\ \dots \tag{\ref{7}$'$}
\end{equation}
и говорить, что уравнение \ref{7} задает {\it дифференциальное многообразие} $[F]$. Аналогично рассматривается дифференциальное многообразие, заданное системой уравнений
\begin{equation}\label{9}
F_1 (x,\ u,\ \underset{p_1}{u})=0,\ \dots,\ F_s(x,\ u, \dots, \underset{p_s}{u})=0
\end{equation}
Чтобы перейти от дифференциального многообразия к понятию дифференциального уравнения, нужно указать, что будет пониматься под решением уравнения. Например, классическим решением уравнения (\ref{7}) называется достаточное число раз дифференцируемая функция $u=\phi (x)$ такая, что при подстановке вместо величин $u^{\alpha},\ u^{\alpha}_i,\ \dots$  функций $\phi^{\alpha}(x),\ {\partial}{\phi}^{\alpha}(x)/ {\partial}x^i,\ \dots$, равенство (\ref{7}) выполняется тождественно по $х$. Вместо классических решений можно рассматривать также обобщенные решения. В любом случае понятие дифференциального уравнения включает в качестве своих составных элементов дифференциальное многообразие и определение решения. При вычислении допускаемой группы мы как бы забываем про решения и воспринимаем дифференциальные уравнения просто как дифференциальные многообразия. Тогда мы можем смотреть на (\ref{9}) как на обычные (недифференциальные) системы уравнений (\ref{1.25}) и использовать критерий инвариантности из теоремы (\ref{1.4.}).

{\bf 2.3.Группы точечных преобразований. Формулы продолжения.} Положим $z = (x,\ u)$ и запишем преобразования (\ref{1.1}) в виде
%2.13
\begin{equation}\label{10}
x'^i=f^i(x,u,a),\ f^i\bigm|_{a=0}=x^i
\end{equation}
%2.14
\begin{equation}\label{11}
u'^{\alpha}=\phi^{\alpha}(x,u,a),\ \phi^{\alpha}\bigm|_{a=0}=u^\alpha
\end{equation}
\par\medskip Эти преобразования называются {\it точечными}. Предположив выполненным групповое свойство (\ref{1.5}), запишем инфинитезимальный оператор однопараметрической группы $G$ преобразований
(\ref{10}) (\ref{11}) в виде
%2.15
\begin{equation}\label{12}
X=\xi^i(x,u)\frac{\partial}{\partial x^i}+\eta^\alpha(x,u)\frac{\partial}{\partial u^\alpha},
\end{equation}где в соответствии с формулой (\ref{1.6})
%2.16
\begin{equation}\label{13}
\xi^i=\left.\frac{\partial f^i}{\partial \alpha}\right|_{a=0},\ \eta^\alpha=\left.\frac{\partial \phi^\alpha}{\partial \alpha}\right|_{a=0}.
\end{equation}

Обычные формулы замены производных устроены так, чтобы сохранить дифференциальные соотношения (\ref{5}). Эти формулы можно получить следующим простым путем. При переходе от старых независимых переменных $x^i$ к новым переменным $x'^i$ по формулам (\ref{10}) дифференцирования по нештрихованным и штрихованным переменным связаны равенствами
%2.17
\begin{equation}\label{14}
D_i=D_i(f^i)D'^i.
\end{equation}

При этом удовлетворяются соотношения (\ref{5}) в штрихованных переменных:
\begin{equation}\label{5'}
u'^\alpha_i=D'_i(u'^\alpha),\ \dots \tag{\ref{5}$'$}
\end{equation}

Теперь продифференцируем обе части равенства (\ref{11}), используя соотношения (\ref{14}) и (\ref{5'}):
\par\medskip
\begin{center}
$D_i(\phi^\alpha)=D_i(f^j)D'_j(u'^\alpha)=u'^\alpha_jD_i(f^j). $
\end{center}
Таким образом, замена первых производных при точечных преобразованиях (\ref{12}),\ (\ref{13}) определяется формулой
%2.18
\begin{equation}\label{15}
u'^\alpha_jD_i(f^i)=D_i(\phi^\alpha),
\end{equation}
или более подробно
\begin{equation}\label{16}
\left(\frac{\partial f^j}{\partial x^i}+u^\beta_i\frac{\partial f^j}{\partial u^\beta}\right)u'^\alpha_j=\frac{\partial \phi^\alpha}{\partial x^i}+u^\beta_i\frac{\partial \phi^\alpha}{\partial u^\beta}\tag{\ref{15}$'$}
\end{equation}
\par\medskip
Отсюда находятся значения $u'^\alpha_j$ как функции от $x,\ u,\ \underset{1}{u}$ параметра $a$ при достаточно малых $a$. Действительно, при $a=0$ имеем $D_i(f^j)=\beta^j_i$ в силу начального условия $f^j\bigm|_{a=0}=x^j$, поэтому матрица $\| D_i(f^j)\|$ обратима при малых значениях $a$. Преобразования вторых производных получаются из (\ref{15}) повторным дифференцированием и т. д.
Для дальнейшего нам нужны продолжения не самих преобразований (\ref{10}),(\ref{11})а инфинитезимального оператора
(\ref{12}). Запишем продолжение этого оператора на первые производные в виде
\begin{equation}\label{17}
\underset{1}{X}=X+\xi^\alpha_i+\frac{\partial}{\partial u^\alpha_i}
\end{equation}
где $\xi^\alpha_i=\left .\frac{\partial u'^\alpha_i}{\partial a}\right |_{a=0} \ - \ $ дополнительные координаты, которые мы должны найти. Продифференцируем обе части равенства (\ref{15}) по параметру $a$ в точке $a=0$. Учитывая перестановочность дифференцирований $D_i$ и $\partial/\partial a$, формулы (\ref{13}) и начальные условия в (\ref{10}), (\ref{11}), имеем
%2.19
\begin{equation}\label{18}
D_i(\eta^\alpha)=\xi^\alpha_j D_i(x^j)+u^\alpha_jDi(\xi^j)=\xi^\alpha_j\beta^j_i+u^\alpha_jD_i(\xi^i).
\end{equation}
Отсюда получаем искомую {\it формулу продолжения} на первые производные:
%2.20
\begin{equation}\label{19}
\xi^\alpha_i=D_i(\eta^\alpha)-u^\alpha_jD_i(\xi^j).
\end{equation}
\par\medskip

Как видно из этой формулы, для построения продолженного оператора
(\ref{17}) нужно знать лишь координаты $\xi^i,\ \eta^\alpha$ исходного оператора $X$.
\par\medskip

$\bigcirc$ {\bf Упражнение 2.4.} Запишем продолжение оператора (\ref{17}) на вторые производные в виде
%2.21
\begin{equation}\label{20}
\underset{2}{X}=\underset{1}{X}+\xi^\alpha_{ij}\frac{\partial}{\partial u^\alpha_{ij}},
\end{equation}
где $\left. \xi^\alpha_{ij}=\frac{\partial u'^\alpha_{ij}}{\partial a}\right|_{a=0}$. Покажите, что
%2.22
\begin{equation}\label{21}
\xi^\alpha_{ij}=D_j(\xi^\alpha_i)-u^\alpha_{ik}D_j(\xi^k).
\end{equation}
\par\medskip
{\it Указание:} продифференцируйте  (\ref{15}) с помощью (\ref{14}) и повторите процедуру вывода формулы первого продолжения(\ref{19}).

$\bullet \ $Пример 2.1. Получим продолжение  (\ref{2}) оператора  (\ref{1}) не с помощью формул  (\ref{2.3}) преобразования производных, а непосредственно применяя формулы продолжения (\ref{18})—(\ref{21}) к оператору
\par\medskip
\begin{center}
$X=2t\frac{\partial}{\partial x}-xu\frac{\partial}{\partial u}.$
\end{center}
Обозначив $t=x^1, x=x^2$, имеем для этого оператор $X\xi^1=0, \xi^2=2t, \eta = -xu.$ Поэтому по формулам (\ref{19}) получаем
\par\medskip
\begin{center}
$\xi_1=D_t(-xu)-u_xD_t(2t)=-xu_t-2u_x,$
\end{center}
\begin{center}
$\xi_2=D_x(-xu)-u_xD_x(2t)=-u-xu_x,$
\end{center}
а по формулам (\ref{21}) -
\par\medskip
\begin{center}
$\xi_{22}=D_x(-u-xu_x)-u_xxD_x(2t)=-2u_x-xu_xx.$
\end{center}
\par\medskip
Полученный оператор
\begin{center}
$X_2=X+\xi_1\frac{\partial}{\partial u_t}+\xi_2\frac{\partial}{\partial u_x}+\xi_{22}\frac{\partial}{\partial u_{xx}}.$
\end{center}
совпадает с оператором (\ref{2}).$\bullet$

{\bf 2.4 Определяющие уравнения.} Теперь вернемся к вопросу о группах точечных преобразований, допускаемых системой дифференциальных уравнений
(\ref{9}). Эту систему мы иногда для краткости будем записывать в виде (\ref{7}), подразумевая, что $F$ — вектор с компонентами $F, \ \dots, \ F_s$, причем максимальный порядок входящих в них производных равен $p$. Как уже говорилось, $[F]$ будет обозначать дифференциальное многообразие, определяемое этой системой вместе со всеми дифференциальными следствиями (\ref{8}).
\par\medskip

Так как в уравнения (\ref{9}) входят производные до порядка $p$ включительно (некоторые из $f_k, k=1,\  \dots,\ s$ могут зависеть от производных меньшего порядка), то необходимо продолжить преобразования (\ref{10}), (\ref{11}), $p$ раз дифференцируя (\ref{15}) с помощью (\ref{14}). Если преобразования (\ref{10}),(\ref{11}) образовывали однопараметрическую группу $G$, то в результате продолжения получим однопараметрическую группу, которую мы обозначим $\underset{p}{G}$ и которая действует на все переменные $х,\  и,\  и_1,\  \dots,\  и_p$. Инфинитезимальным оператором этой $p$ раз продолженной группы $G$ будет оператор
%2.23
\begin{equation}\label{22}
\underset{p}{X}=X+\xi^\alpha_i\frac{\partial}{\partial u^\alpha_i} + \dots + \xi^{\alpha}_{i_1 \dots i_p}\frac{\partial}{\partial u^\alpha_{i_1 \dots i_p}}
\end{equation}
полученный путем $p$-кратного продолжения оператора (\ref{12}) группы $G$. Формула для высших продолжений оператора аналогична формуле второго продолжения (\ref{21}):
%2.24
\begin{equation}\label{23}
\xi^{\alpha}_{i_1 \dots i_k}=D_{i_k}(\xi^\alpha_{i_1 \dots i_{k-1}})-u^\alpha_{ji_1 \dots i_{k-1}}D_{i_k}(\xi^j).
\end{equation}
Будем говорить, что система дифференциальных уравнений (\ref{8}) допускает группу $G$ точечных преобразований
(\ref{10})	, (\ref{11}), если дифференциальное многообразие $[F]$, определяемое системой (\ref{8})	, инвариантно относительно продолженной группы $\underset{p}{G}$. С помощью теоремы (\ref{1.4}) устанавливается следующий критерий инвариантности, удобный для эффективного вычисления допускаемой группы.
\par\medskip

{\bf Теорема} 2.1. {\it Система дифференциальных уравнений(\ref{8}) допускает группу $G$ с инфинитезимальным оператором $X$ тогда и только тогда, когда выполняются условия}
%2.25
\begin{equation}\label{24}
\underset{p}{X}\left .F_k\right |_{[F]}=0, k=1,\dots , s.
\end{equation}
\par\medskip
Эта теорема вместе с теоремой Ли (теорема 1.1) сводит задачу отыскания всех однопараметрических групп, допускаемых данной системой дифференциальных уравнений, к решению уравнений (\ref{24}), называемых поэтому определяющими уравнениями. Согласно формулам продолжения (\ref{19}), (\ref{23}) определяющие уравнения (\ref{24}) представляют собой систему линейных однородных дифференциальных уравнений относительно координат $\xi^i, \eta^\alpha$ оператора $X$ (\ref{12}). Но так как эти координаты ищутся как функции от $х, и,$ а в определяющие уравнения входят также и производные $\underset{1}{u},\ \dots,\ \underset{p}{u},$ то полученная система дифференциальных уравнений относительно $\xi^i, \eta^\alpha$ будет переопределенной, что облегчит их решение.
\par\medskip
{\bf 2.5.Примеры решения определяющих уравнений.} Предлагаемые примеры выявляют типичные ситуации, встречающиеся при вычислении инфинитезимальных операторов допускаемых групп (или, кратко, допускаемых операторов) с помощью определяющих уравнений.
\par\medskip
$\bullet \ $ Пример 2.2. Рассмотрим уравнение
%2.26
\begin{equation}\label{25}
u_xu_{xx}+u_{yy}=0,
\end{equation}

описывающее околозвуковое установившееся течение газа. Допускаемый оператор будем искать в виде

\begin{center}
$X=\xi^1\frac{\partial}{\partial x}+\xi^2\frac{\partial}{\partial y}+\eta\frac{\partial}{\partial u},$
\end{center}

где $\xi^1,\ \xi^2 и \eta$ - пока неизвестные функции от $x,\ y,\ u.$ Если записать второе продолжение оператора $X$ в виде

\begin{center}
$\underset{2}{X}=X+\xi_1\frac{\partial}{\partial u_x}+\xi_2\frac{\partial}{\partial u_y}+\xi_{11}\frac{\partial}{\partial u_{xx}}+\xi_{12}\frac{\partial}{\partial u_{xy}}+\xi_{22}\frac{\partial}{\partial u_{yy}},$
\end{center}

то будем иметь
$\underset{2}{X}u_xu_{xx}=u_{xx}\xi_1+u_x\xi_{11}+\xi_{22},$ и определяющее уравнение  (\ref{24}) запишется так:
%2.27
\begin{equation}\label{26}
\left . u_{xx}\xi_1+u_x\xi_{11}+\xi_{22}\right |_{u_{yy}=-u_xu_{xx}}=0.
\end{equation}
Здесь переход на дифференциальное многообразие $[F]$ состоит в том, что всюду в левой части (\ref{26}) величину $u_{yy}$ следует заменить на $-u_xu_{xx}$. Теперь нужно найти коэффициенты $\xi_1, \xi_{11}, \xi_{22}$ и подставить их в определяющее уравнение
(\ref{26}).	Как видно из этого уравнения, коэффициент $\xi_{12}$ не понадобится.
\par\medskip
По формулам (\ref{19}) и (\ref{21}) найдем выражения для $\xi_1, \xi_{11}, \xi_{22}$ (сделайте это сами) и подставим эти выражения в
(\ref{26}).	Сначала соберем в левой части
(\ref{26}) все члены, содержащие смешанную производную $u_{xy}$:

\begin{center}
$-2u_{xy}(\xi^1_y+u_x\xi^2_x+u_y\xi^1_u+u^2_x\xi^2_u).$
\end{center}
\par\medskip
Так как в (\ref{26}) все величины $x,\ y,\ u,\ u_x,\ u_y,\ u_{xx},\ u_{xy}$ играют роль независимых переменных, а искомые функции $\xi^2,\eta$ зависят только от $x,\ y,\ u$, то для выполнения уравнения (\ref{26}) необходимо,
чтобы коэффициент при $u_{xy}$ был равен нулю:
\end{document}
