\documentclass{article}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsthm}


\DeclareMathOperator{\const}{const}
\begin{document}

������ ���������� �������� ����� ������ ������� ���������� �������������� �����. ��������� ���� $F \subset E$, �� ��� ���������� ����� �������� ������ �������������� ������������������~\eqref{7.11}
\begin{equation}
\label{eq:13.23}\ldots\;\to\;\pi_n(F)\;\to\;\pi_n(E)\;\to\;\pi_n(E,F)\;\to\;\pi_{n-1}(F)\;\to\;\ldots \end{equation}
\newtheorem{Th_1}{�������}
\begin{Th_1}\label{Th_1}����������� $\pi_n(E,F)\:\to\:\pi_n(B)$ ��� ���� $n$ �������� ������������, �.�.
$\pi_n(E,F)\:=\:\pi_n(B)$
\end{Th_1}
�������������� ����� ����� � [3,5,10].\\

��� ������������ �������� ���� �������, ��� ������~$\pi_3(S^2)=Z$.\\
������� ������ ��� ����������� � ������� ����������� \eqref{eq:13.23-2}).\\
��� ���������� ����� \eqref{(13.15} �������� ������ ������������������\\

\begin{align} \label{eq:13.25}
\pi_3(&S^1)\;\to\;\pi_3(&&S^3)\;\to\;\pi_3(&&&S^2)\;\to\;\pi_3(&&&&S^1)\notag\\
&\| &&\| &&&\| &&&&\| \\  
&0 &&Z = \pi_3(&&&S^2) &&&&0 ,\notag
\end{align}
�.�.
\begin{equation}\label{13.26}\pi_3(S^2)=Z\:.\end{equation}
���������� ��������� ������� �� ������� (7.7) � ����������� (8.2), �������� �������� $\pi_n(S^1)=0, n>1$ (��������!)

\subsection*{14. ������ �� � ������� ��}\label{sec:Lie group and Lie algebra}
������ ���������� � ��������� � ���� ������������������ ������ ������� ������� ���������� ��� ������������ ������ ���� ����������� �������� (�������� � ����������).
���� ��� ���������� �������� ������, ����������� �������� ����������� �������������� ���������������� � ��������������� ���������� ������. �� ����� ����������� �������� ������������� ����� ���������� ������ ����, ������ �� �������� ������� �������� �������� � ������ ����� � ������ ��.
\subparagraph*{\textit{����������� I}}
\textit{�������� ��������� ������������} ���� ��������� ��������� ���������, � ������� ���������� ��� �������� - ��������� �� ������ � �������� ���������.
\subparagraph*{\textit �������� ������ ��}
������ G �������� \textit{n-������ �������� ������� ��}, ���� ��������� ��������� �������:
\begin{enumerate}
\item[1)] ������ G �������� ���������� ������ $GL(n,R)$ - ������������� ���� ������������ (����������� ������� �� ����) ���������� ������ n-��� �������.
\item[2)] ���������� ����������� U ��������� ������� E �����, ��� ��� ��������� �������� $g_{ij}$ ������� $g \in G$ �������� ���������� ����������������� ��������� $k$ ������������ ���������� $t_s$ � $|t_s|<t_o\;(s=1,\ldots, k)$
\item[3)] ���� ������� $\frac{\partial g_{ij}}{\partial t}$ ����� k ��� ����
$$|t_s|<t_o .$$
\end{enumerate}

�� �������� � ����������� ���������� ����� ������� ����� ��, ���������� ����������� ��������� ��������� ������, ���������� �������� ��.
\begin{enumerate}
\item[1] $SL(n,R)=G, g \in G$, ���� $\det g=1 .$
\item[2] $U(n)$ - ��������� �������: $UU^+=UU^+=1$, $(U^+)_{ij} = (U)^*_{ji}$ .
\item[3] $SU(n)$ - ��������� ������� � ������ ������� �������������.
\item[4] $O(n)$ - ������ �������� n-������� ������������ $CO^T=O^TO=1$, $(O^T)_{ij} = (O)_{ji}$ .
\item[5] $SO(n)$ ������ ������ $O(n)$ � �������������, ������ �������.
\end{enumerate}

�����������, ���������� � ����� ������������ ��������� ������ ��. ����� ������� � ����������� ����� �� ��� ��, ��� ��� ��������� �������� �������� ���������� �������� ��������� ������������� ����� ����������� ����������.

\subparagraph*{\textit ������� ��}
����� V - \textit{�������� ������������� ��������� ������������:}
������������ V ���������� \textit{�������� ��}, ���� � ��� ������� �������������� ���������� �������� (��������������), �������������� ������ ���� ��������  $x,y \in V$ ������, ������������ $[x,y]$ � ���� ������������� ������������ V.\\
��� �������� ������������� ��������� ��������:
\begin{enumerate}
\item[1)] $\label{eq:14.1} [x,y]=-[y,x] $ 
\item[2)] $[x,\lambda y + \mu z] = \lambda [x,y] + \mu [x,z]$ ��� ����� �������������� (�����������) ����� $\lambda , \mu$  \label{eq:14.2}
\item[3)][x,[y,z]] + [y,[z,x]] + [z,[x,y]] = 0 - \textit{��������� �����} \label{eq:14.3}
\end{enumerate}
� ����� ��������� ������������ ����� ������� �����, �.�. ����� ����������� ��������� $x_\alpha = V(\alpha=1,\ldots, m)$, ������ ����� ������� $x=V$ ����� ���� ����������� � ���� $x=\sum \sigma_\alpha x_\alpha$. �������� ������ ������� �� ������������� ����������� 
\begin{equation}
[x_\alpha,x_\beta]=\sigma_{\alpha\beta}^\gamma x_\gamma
\end{equation}
(�� �������������� ������� $\gamma$ ���������� ������������), � ������������ $\sigma_{\alpha \beta}^\sigma$ ���������� ������������ ����������� ������� �� V.

�� ������� \eqref{eq:14.1} � \eqref{eq:14.3} �������, ���
\begin{equation}
\sigma_{\alpha\beta}^\gamma = \sigma_{\beta\alpha}^\gamma , 
\end{equation}

\begin{equation}
\sigma_{\alpha \beta}^\gamma \sigma_{\gamma\delta}^\upsilon + \sigma_{\gamma \beta}^\mu \sigma_{\delta\alpha}^\upsilon + \sigma_{\delta\beta}^\mu \sigma_{\alpha\gamma}^\upsilon  = 0
\end{equation}
����� $G$ - �������� ������ �� � $g(t) \in G $. ������ $g(t)$ ��������, ��� ��� ��������� �������� $g_{tk}(t)$ �������� �������� ��������� ���������, ������  $g_{tk}(0) = \sigma_{ik}$ ($g(0)=\epsilon$, $\epsilon$ - ������� ������ $G$). ������� 
\begin{equation}
x= \frac{dg(t)}{dt}\:|_{t=0} ,
\end{equation}
��������� �� ��������� $x_{ij}= \frac{dg_{ij}(t)}{dt}\:(t=0)$ , ���������� \textit{����������� �������� � ������� ������} �� $G$.

��������� �������� ������ ������ �� ������� �� ���������� ����������, �� ������ ����������� � ������� ������ �� ������� �� ���, �������� ������������ ���� ����������� ������ � ����� $e \in G$. ��� ������������ ����������� � ������� ������ �������� ������� �� �� �������� �������������� ������.

����������� � ������� ������� �������� �������� ��������� ������������. �������������, ����� $g_1,g_2 \in G$ � $g_1(\alpha t)|_{i=0}=g_2(\beta t)|_{t=0}=\epsilon$
$$g(t)=g_1(\alpha t)g_2(\beta t) , g(0) = \epsilon$$
��������, ��� 
\begin{equation}
\frac{dg(t)}{dt}|_{t=0} = x = \alpha x_1 + \beta x_2 .
\end{equation}
$$g(t)=g_1(vt)g_2(vt)g_1(-vt)g_2(-vt).$$
��� ����������� ������� �������� (���������!)
\begin{equation}
x=x_1x_2-x_2x_1=[x_1,x_2],
\end{equation}
�.�. ���������� ����������� ������ �������� ����������� � ������� ��������.


$$g_1(t)=g_0g(t)g_0^{-1}, g_0 \in G$$
��������, ��� ��� �������
$x= \frac{dg(t)}{dt}\:|_{t=0}$, ��� � ������� 
\begin{equation}
x_1=g_0xg_0^{-1}, g_0 \in G
\end{equation}
�������� ����������� � �������, �.�. ����������� ������� �� ������ $G$.

������������ ���������� ������� $n \times n$ ����� $n^2$ ����������� ��������� ���������. ���������� ������ $O(n)$. ��� ���������� ��������:
$$g \in O(n) , g.g^x=1$$,
�.�. ��������� �������� ������ ������������� $\frac{n^2+n)}{2}$ ������������.
����� �������, ����� ����������� ��������� ��������� � ������������ ������� $g \in O(n)$ ����
$$n^2 - \frac{n^2+n}{2} = \frac{n^2-n}{2} $$
 - ����������� ������ $O(n)$.
� ���������� ����������� ���������� ������������ ��������, ���

$$\dim O(n) = \frac{n^2-n}{2}$$
$$\dim U(n) = n^2$$
$$\dim SU(n) = n^2 - 1$$


����� �������� �������� � ������� �� ������ $G$ ���������, ��������, � ������������ ������ $G$.

\end{document}

